Cuando el coeficiente cuadrático es diferente a !1"

Ejercicio 1) 2x (al cuadrado) - 12x + 19

Primero separamos con corchetes los terminos que tienen "x". 
[ 2x (cuadrado) 12x ] 19

Despues la factorizamos lo que pusimos en corchetes.
2 [ x (cuadrada) - 6x ] 19

Con esto.. buscamos "B" de lo que esta en corchetes. Y usamos la formula de ( b / 2 ) (al cuadrado)
b = - 6 
= ( - 6 / 2 ) (al cuadrado)
= - 3 (al cuadrado)
= 9

Sumamos y restamos el valor que nos dio la formula, a "B". 
2 [ x (cuadrada) - 6x + 9 - 9 ] 19

y luego factorizamos los primeros 3 terminos que estan entre corchetes. Multiplicas el 2 se afuera con el - 9.... Y lo que esta fuera se revuelve.
2 [ (x - 3) (cuadrado) - 9 ] 19
2 (x - 3) (cuadrado) - 18 + 19
2 (x - 3) 1  aqui tenemos nuesta A, H y K, tabulamos. graficamos y ponemos sus elementos de la parabola.

a = 2
h = 3
k = 1

X     Y
1      9
2      3
3      1
4      3
5      9

Ramas = Arriba
Concavidad = Psotiva
Vértice = (3 , 1)
Eje = 3
Minimo = 1 

De forma general a forma estándar.

Ejercicio 4)
Tenemos esta formula: y = x (cuadrada) + 2x
Primero sacamos A.. B y C y quedan así..    a = 1
                                                                 b = 2
                                                                 c = 0
Después aplicamos la sig. formula (b / 2) (al cuadrado) y sustituimos con los valores A, B y C:

= (2 / 2) (al cuadrado)
= 1 (al cuadrado)
= 1  
Y teniendo ese valor.. lo sumamos y restamos en la ecuación después de la X de "b":
y = x (cuadrada) + 2x + 1 - 1
Ahora factorizamos a los 3 primeros términos  de la X.. le sacamos su raíz porque esta al cuadrado. Después ponemos el signo que sigue en la ecuación  Y por ultimo del valor sumado que nos salio de la formula, le sacamos su raíz. Luego de eso, usamos la ecuación de A, H y K y buscamos esas letras en nuestra ecuación factorizada.
y = (x  + 1) - 1
y = (x - h) (al cuadrado) + k 

a = 1
h = - 1
k = - 1

Lo que nos dio en H y en K sera nuestro vértice  Después únicamente le damos 2 valores mas pequeños a X que lo que nos dio el vértice.. y 2 mas  grandes y sustituimos en la ecuación inicial.

Ejemplo: (- 2) ...... y = (- 2) (al cuadrado) + 2 (- 2) 
                             y = 4 - 4
                              y = 0
Y así sustituyes en la ecuación con todos los valores.. por ultimo solo tabulas.. grafícas .. y pones los elementos de la parábola.
  
  X      Y
 -3       3
 -2       0
 -1    - 1

  0       0
  1        3

Rama = Arriba

Concavidad = Positiva

Vértice = - 1 , - 1

Eje = - 1

Mínimo = - 1

Ecuacion cuadrática.. Forma estandar

Y= a ( x - h) ( al cuadrado) + k
Esta formula nos servira para ver cual es A.. cual es K y cual es H .. en una ecuacion cuadratica. 

1) y = x (al cuadrado)
a = 1
h = 0
k= 0
En este caso A.. seria lo que multiplica a la escuacion .. lo que esta fuera del parentesis.. Asi que es 1 .. porque si le ponemos cero.. todo se convertiria en cero.
La H es lo que esta en el parentesis y va al cuadrado.
Y la K es lo que se le suma o se le resta al ultimo de la ecuacion.

Despues de identificar esas 3 letras.. tenemos que tabularlas desde - 3 hasta 3 sustituyendo en la ecuación normal.

  X     Y
- 3     9
- 2     4
- 1     1
  0     0
  1     1
  2     4
  3     9   
Luego graficamos.

Y por ultimo ponemos que es lo que modifica cada letra en una grafica..
En este caso es que A: la hace ya sea mas grande o con mas hueco adentro por decirlo asi.
H: es como si fuera X .. la hace mas a la derecha o mas a la izquierda.
K: es como si fuera Y .. la hace mas arriba o mas abajo.

Analisis del discriminante... Ejercicio 2)

Análisis del discriminante. 

2) F (x) = - x (al cuadrado) + 3x

Primero localizamos "A" ... "B" ... y "C". 

Quedan: a = - 1

             b = 3

             c = 0

Despues calculamos X .. con la formula: x = - b / 2a ... Y sustituyendo valores quedaria asi:

x = -3 / 2 ( - 1)

x = - 3 / - 2

x = 1.5 

Al obtener eso.. Nececitaremos sacar Y .. Asi que lo que nos salio en X .. lo sustituiremos en la primera ecuacion. 

F (1.5) = - (1.5) (al cuadrado) + 3 (1.5)

F (1.5) = - 2.25 + 4.5

F (1.5) = 2.25 ............. Y ahi tendremos las coordenadas de nuestro vértice: (1.5, 2.25).

Ahora para terminar nuestra grafica.. tenemos que sacar los valores de X1 y X2 .. Y se tiene que usar ya sea la factorizacion o la formula general.. dependiendo del caso. Aqui usaremos la formula general con los valores de A, B y C que aparecieron al principio del ejercicio.

X1, X2 = - b +- raiz de ( b (cuadrada) - 4ac) / todo sobre 2

X1, X2 = - 3 +- raiz de ( 9 - 4 ( -1) (0) / 2 ( - 1 )

X1, X2 = - 3 +- raiz de ( 9 ) / - 2

X1, X2 = - 3 +- 3 / 2

X1 = - 3 + 3 / 2         X2 =  - 3 - 3 / - 2

X1 = 0 / 2                 X2 = - 6 / 2

X1 = 0                      X2 = 3

Por ultimo unicamente graficamos .. con nuestro vertice.. y con X1 y X2 .. miesntras Y cuenta como 0 

Puntos importantes de una parabola.. Ejercicio 2)

Gráfica la siguiente función cuadrática, a partir del vértice y las 2 raíces y elementos de la parábola.

2) F(X) = x (cuadrada) + 2x - 3

Primero tenemos que  hacer una tabla así          

Luego de esa ecuación ^^ .. sacamos A.... B y C .. Que quedan así .. Primero van  lo cuadrático ( x al cuadrado) .. luego la lineal (2x)  ..y al ultimo va la constante (3).

a= 1 
b= 2
c= - 3   
Y tenemos una formula que es para sacar el valor de x desde el punto del vértice: 

x=  - b/2a Y quedaría así sustituyendo los valores anteriores en la formula: x= - 2/2(1) 
                                                                                                                 x= - 2/2
                                                                                                                 x= - 1
(El (- 1) sera lo que ira en la tabla en X como vértice).

Después lo que nos dio de X que vendría siendo (-1).. lo sustituimos en la primera ecuación:

F (x) = (-1) (al cuadrado) + 2 (- 1) - 3
F (x) = 1 - 2 - 3
F (x) = - 4
(El (- 4) sera el que ira en Y en la tabla como vértice).

A continuación usamos la formula general para  sacar las X en la tabla.. una mas grande que el valor pasado.. y uno mas chico. Igual sustituimos usando los valores de de A, B y C utilizados antes.

x1, x2 = - b +- la raiz cuadrada de ( b(cuadrada) - 4ac) / 2    /Todo eso sobre 2/
Que seria asi: x1,x2 = -2 +- Raiz de ( (2) (al cuadrado) - 4 (1) (- 3)) / 2   /Todo sobre 2/
x1,x2 = -2 +- Raiz de (4 + 12) / 2 
x1,x2 = -2 +- Raiz de (16) / 2 
x1,x2 = (- 2 +-  4) / 2
x1 = (- 2 + 4) /2
x1 = 2/2
x1 = 1
x2 = ( - 2 - 4) /2  
x2 = ( - 6 ) / 2
x2 = - 3

Aquí el valor mas pequeño de x1 y x2 ira en la tabla antes del resultado anterior de X.. y el mayor ira después.

Por ultimo solo grafícas con esos 3 valores que tienes y pones sus elementos:

Ramas = Arriba
Concavidad = Negativa
Vértice = (- 1, - 4)
Eje de simetría = - 4
Mínimo = - 4

Los elementos de la parabola.. Ejercicio a)

Obtener los elementos de la parábola y la gráfica y las funciones:

a) y = x (cuadrada)
Solo tenemos que sustituir valores con la X...  Y estos serán  -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Aquí sustituimos a -5: 
Y = ( -5 ) (al cuadrado)
Y = 25   (se multiplica 5 por 5 .. y da 25-.. y como los 2 tienen signos negativos.. - y - dan +)  Luego haces esto con todos los valores desde el -5 hasta el 5 positivo y quedan así:

 X       Y    
-5     25   
-4     16
-3       9
-2       4  
-1       1
 0       0
 1       1
 2       4
 3       9 
 4     16
 5     25 

Y la gráfica siguiente se hizo con los datos de arriba:

Ramas = arriba

Concavidad = positiva

Vértice = ( o,o )

Eje = 0

Máximo = 25 

Funciones cuadráticas.. 1° Problema

P = 2b + x  El perímetro se saca sumando todos los lados.. entonces como no tenemos el lado izquierdo queda b +b +x
A = A(x) = (x)(b) ... El área de un rectángulo se saca multiplicando base por altura.. Entonces multiplicas B y X

120 = 2b + x Al tener esto.. solo despejas b y queda tu ecuación para tabular y después graficar.

b = [120 - x] / 2
                                                                                    b = 60 - x / 2

Luego sustituyes lo que te salio (b) en el área: A(x) = x ( 60 - x/2 )
Y queda: A (x ) = 60x - x/2(la x cuadrada) Luego de esto.. le das un valor a la X .. y la sustituyes.

Ejemplo: A (x) = 60 (10) - 20/2 (el 20 al cuadrado)
A (x) = 600 - 100/2
A (x) = 600 - 50
A (x) = 550

Y la tabla quedaría así:             x    Área      

                                         0         0
                                       10     550 
                                       20   1000
                                       40   1600
                                       60   1800
                                       80   1600
                                     100   1000
                                     120     550
                                                              


Empiezas la tabla.. en el primer valor positivo.. y luego la resuelves dandole valores hasta que quede en el mismo valor de nuevo.
Y por ultimo grafícas los datos de la tabla: