Ley de los senos y cosenos.

Ley de senos: C sen B sen A sen γ β α = = La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. 
La ley de los Senos dice así: Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, yα,β yγ (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, laα está en el ángulo opuesto de A. Laβ está en el ángulo opuesto de B. Y laγ está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. 
Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver. 
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno. 
Supongamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: Llamemosβ al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;α al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A= 5
B=?
C=?

α = 43° β = 27° A B C β γ α A B C β γ α


Ley de cosenos: C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. 
La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entonces dice así: donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, yα,β yγ (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. 
Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos: Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos. 
Resolución de triángulos por la ley del Coseno Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver. 
A B C β γ α A B C β γ α 

Ecuaciones con razones trigonometricas

Obtener el resultado de la sig. función: 1.- 6 (Sen 30) (Cos 30) + 8 (Tan 30) (Cos 45)

Primero tenemos que sacar el Sen .. Cos .. y Tan de los grados que ay en cada paréntesis . y el resultado lo multiplicamos por el numero que tiene afuera.. y hasta el ultimo que lleguemos a 2 números . solo los sumamos y ese seria el resultado de la ecuación.

 1.- 6 (Sen 30) (Cos 30) + 8 (Tan 30) (Cos 45)
      6 (0.5) (0.86) + 8 (0.57) (0.70)
     (3) (0.86)  + 4.56 ( 0.70) 
      2.58 + 3.192
      5.77

Unidad 5* Funciones trigonometricas

2.- En un rectángulo A, B, C y D que mide 12 cm. de largo y 5 de ancho, se traza una diagonal.
Determina el valor de los elementos de los 2 triángulos y las medidas de sus ángulos.

Primero tenemos que dividirlo en 2 y quedan 2 triángulos .. luego determinar la medida de su diagonal... Y esto lo aremos aplicando teorema de Pitagoras .. y quedaría así:

c (cuadrada) = a (cuadrada) + b (cuadrada)
c (cuadrada) = 25 + 144
c = raiz de 169
c = 13  ......... Y este seria su diagonal

Después tendríamos que sacar su angulo con la función de:
Sen = CO/H
Sen = 15/13
Angulo = Sen ( 0.30)
Angulo =  22.3 grados ... Este es uno de los ángulos.. necesitamos el otro

Luego calculamos el otro angulo del rectángulo que nos falta:
Cos = CA/H
Cos = 5/13
Cos = 0.38
Angulo = Cos (0.38)
Angulo = 67.66 grados ...Y este sera nuestro otro angulo.

Volumenes

Una pecera mide 1.5 m. de largo, 1 m. de ancho y 0.08 de altura. Si a una jarra le caben 0.002 m (cuadrados) de agua, se puede llenar la pecera con 20 jarras de agua.

Para resolver este problema primero tenemos que multiplicar lo largo por lo ancho y el resultado lo tendremos que multiplicar por la altura. y esto nos dara 1.2 que esto seria como el area que tiene la pecera. 

Despues tienes que multiplicar  el numero de jarras por 0.002 m cubicos que seria a capacidad de AGUA que le caben a la pecera. Y esto nos dara:

( (1.5) ( 1 ) ) (.80) = 1.2
(20) (0.02) = 0.04

Entonces no se puede llenar con 20 jarras de agua .. una pecera de ese tamaño.

Áreas

Un espejo circulas mide 1.25 metros de diámetro ... ¿Que área tiene?

Primero tenemos que la formula para sacar el area de un circulo es A = Pi * r (al cuadrado) ...... Y como aqui solo nos dan el diametro.. pero no el radio.. lo unico que hacemos es dividir el diametro entre 2.. porque el radio es la mitad de éste.... Y no da 0.625 y sustituimos en la formula:

A = 3.1416 ( 0.625 ) (al cuadrado)
A = 3.1416 ( 0.390625 )
A = 1.2271875

Unidad 4° : Áreas, volúmenes y perímetros.

Calcula el perímetro de un cuadrado, si cada lado mide 5 m.

Aquí lo único que tenemos que hacer... es saber como sacar el perímetro de un cuadrado... y es P: L + L + L + L ... Así que seria:

5 + 5 + 5 + 5 = 20 m. 

Teorema de pitagoras

Obtén la medida de el lado que hace falta.

Sabemos que el lado mas grande o el lado opuesto al angulo de 90° de un triangulo recto es la hipotenusa o C..... Entonces una formula para calcularla es: c (cuadrada) = a (cuadrada) + b (cuadrada)
.... En este caso A es un cateto y B es el otro.

Queda así: 
c = x
b = 12
a = 9
c (cuadrada) = 9 (al cuadrado) + 12 (al cuadrado)
c (cuadrada) = 81 + 144
c (cuadrada) = 225
c = (raíz de) 225
c = 15

Y tenemos que 15 es el valor del lado faltante.

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Verifica si los ángulos son rectángulos.

a) 4, 7.5 y 8.5

Aquí les asignamos a,b y c que son los catetos y la hipotenusa de los triángulos .. se los asignamos a cada numero..... Recordando que la hipotenusa es C y siempre el lado las grande... Después de hacer eso simplemente sustituimos los valores en la formula vista arriba:  c (cuadrada) = a (cuadrada) + b (cuadrada)... y nos tiene que dar lo mismo de los 2 lados del "igual".

a = 4
b = 7.5
c = 8.5

8.5 (al cuadrado) = 4 (al cuadrado) + 7.5 (al cuadrado)
72.25 = 16 + 56.25
72.25 = 72.25

Y como nos dio igual.. quiere decir que los ángulos son rectángulos... y en caso de que no nos de igual.. no son rectángulos.

Ángulos internos de un polígono.

Obtén la suma de los ángulos internos del siguiente polígono:

a) 30 lados

Para resolver este problema tenemos primero esta formula: 
                                                                                               Numero de lados internos = (lados - 2) 180°

Entonces nos pide con 38 lados y nos quedaría así: 38 = (38 - 2) 180°
                                                                                                (36) 180° = 1440° 

Y 1440° es la suma de todos los ángulos internos.

Teoremas

Encuentra X y Y:

Para sacar la X simplemente tenemos que verificar cual es el angulo que corresponde con la X ... y tenemos que es 30° ... entonces 30° sera equivalente a X.

Para sacar Y tenemos que sumar los 2 ángulos de arriba... que son 70° y 30° y nos dan 100... Entonces como ese angulo junto tiene que medir 180° .. lo restamos y nos da que Y es igual a 80°

X = 30°

Y = 80°

Semejanza de triangulos

Demuestra que el triangulo I es semejante con el triangulo II, indica el postulado que utilizas para afirmarlo.

Primero encontramos el postulado... que en este caso es LAL .. porque los 2 lados comparten un mismo angulo.. que seria el que esta en la esquina inferior izquierda del triangulo.

Para verificar si los triángulos son semejantes... tenemos que dividir el lado mas grande de un triangulo entre el lado mas grande de el otro triangulo. Después haces lo mismo pero con los lados medianos.. dividiendo el mas grande del I y el II entre el mas pequeño. Y por ultimo haces lo mismo con los lados mas pequeños. Y todas las divisiones te tienen que dar lo mismo para que sean semejantes. Con una sola división que te de diferente .. no tiene semejanza el triangulo.

Quedaría así:

27 / 18 = 1.5
18 / 12 = 1.5

Congruencia semejanza

Triángulos congruentes
Encuentra el valor de X y Y de los sig. figuras aplicando los postulados.

Postulado: LAL porque comparten un solo angulo.. pero son 2 lados.

Triangulo: I      Lado: 1,X          Angulo: y - 5
Triangulo: II     Lado: 1,X         Angulo: 42°

Igualamos los ángulos: y - 5 = 42
                                 y = 42 + 5
                                 y = 47

Triangulo: I         Lado: II,X       Angulo: 26° 
Triangulo: II        Lado: II,X       Angulo: x + 20

Igualamos los ángulos: x + 20 = 26
                                 x = 26 - 20
                                 x = 6 

Problemas Edmodo

Ejercicio 2: Dos ciudades A y B, necesitan un servicio adicional de agua. Se decidió construir una planta purificadora junto a un rió cercano y canalizar el agua desde la planta a las ciudades  Cada una pagara la instalación de la tubería que ira desde la planta hasta la cuidad. La planta se debe ubicar a la misma distancia de las 2 ciudades. El esquema que representa esta situación es el siguiente:

 (Asi es como queda ya terminado... y se hizo de la sig. forma)

Primero... Unimos A,B ... para que quede una linea recta.... y Le sacamos la mediatriz a esta linea... Que se hace .. apoyamos nuestro compas en A... y abrimos a mas de la mitad... y trazamos un arco arriba y otro abajo de nuestra recta.... Despues Hacemos lo mismo pero apoyandonos ahora en B.

Despues trazamos la Linea de la mediatriz.. que es la que pasa sobre la recta y los cortes que hicimos con los arcos. Y esta linea ira lo mas cerca posbile del lago.. Y sera el punto C osea en el problema seria la "planta".

Circunferencia

Ejercicio 4): Da el nombre correspondiente de cada uno de los segmentos y rectas resaltados en la siguiente circunferencia.

TU: Secante: Es la linea que corta a la circunferencia en 2 puntos.
CS: Radio: Es una recta ... que tiene como un extremo el centro.. y el otro es un lado cualquiera de la circunferencia.
PQ: Diametro: Es una recta cuyos lados son 2 puntos de la circunferencia y cruza por el centro.
RS: Cuerda:  Es un segmenteo ... que sus p extremos son 2 puntos cualquiera en la circunferencia.
RV y QS: Arcos: Son un lado por decirlo asi... del circuclo.. Pero no son rectos. /tienen la forma de un arco/.

Desigualdad de los triangulos

Determinar si se pueden formar los triángulos con las sig. medidas e indicar su clase.

a) 4, 5 y 7 

Primero se suman el 4 y el 5 y el resultado se comprara si es menor o mayor que el otro lado q falta en este caso 7. Y así sumas después 5 y 7 y compraras con 4 y por ultimo sumas 4 y 7 y comparas con 5. Si la suma sale mayor que es el lado faltante, el triangulo se puede hacer, pero si sale igual el resultado o sale menor, el triangulo no se podrá elaborar.

4 + 5 = 9 > 7
5 + 7 = 12 > 4
4 + 7 = 11> 5

Triangulo Equilátero y Escaleno. 

Rectas perpendiculares

Construye con una regla (sin graduacion) y compás un triangulo equilatero. Explicando los pasos.

1.- Marco AB con cualquier medida.

2.- Luego con la misma medida ago un arco hacia arriba apoyandome en B y otro igual pero apoyandome en A. Y este sera el punto C.

3.- Unes los puntos

Ángulos

Indica:

a) Un par de ángulos opuestos por el vértice: GED con AGB
b) ¿Son suplementarios el ángulo AFB y en ángulo BFD? Si... porque sumados nos dan 180°
c) El angulo complementario al angulo ABG: GBF
d) Dos ángulos que sean congruentes: EBC con ABF
e) Dos ángulos que sean suplementarios y no sean congruentes: ABG y GBC
f) ¿Los ángulos ABF y FBC son congruentes, adyacentes, opuestos por el vértices, complementarios o suplementarios? Suplementarios.. congruentes y adyacentes.

Clasificacion de los triangulos

a) Según sus lados: 

1.- Triángulos equiláteros:

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 

2.- Triángulos isósceles:

La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.

La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales.

3.- Triángulos escalenos

La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.

b) Según sus ángulos:

1) Triángulos rectángulos: si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

2) Triángulos acutángulos: si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).

En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos.

3) Triángulos obtusángulos: si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).

En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos

Angulos

Angulo llano: 

Un ángulo llano mide 180 grados

Este ángulo es llano

Un ángulo llano cambia de dirección para apuntar en la contraria.

A veces la gente dice "¡has hecho un giro de 180 grados!" queriendo decir que has cambiado de opinión completamente.

Angulo agudo: Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90° 

Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90° entonces ese es agudo.

Angulo recto: Un ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90° 

 

Este ángulo es recto

Fíjate en que en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.

Angulo obtuso:

Ángulos obtusos

Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°

 

Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El ángulo más pequeño entre las líneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.

En realidad he usado los mismos ángulos que en la página de ángulos reflejos. Los ángulos reflejos son los que están del otro lado. Si ves las dos páginas a la vez y sumas los ángulos obtusos y reflejos que tengan el mismo dibujo, siempre sale 360°

Angulo adyacente:  Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice (esquina) en común

El ángulo ABC es adyacente al ángulo CBD Porque: tienen un lado en común (la línea CB) tienen el vértice en común (el punto B)

Angulo opuesto por el vertice: Dos ángulos opuestos por el vértice son los ángulos opuestos

cuando se cruzan dos líneas

En este ejemplo, a° y b° son ángulos opuestos por el vértice. Lo interesante es que ángulos opuestos son iguales: a° = b° (de hecho son congruentes) Angulos suplementarios:  Dos ángulos son suplementarios si al sumarlos el resultado es 180 grados. No necesitan estar juntos para ser suplementarios con tal de que la suma sea 180 grados. Ejemplos: 60° y 120° son ángulos suplementarios. 93° y 87° son ángulos suplementarios.

Angulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto).

Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°. Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos. Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°

Construcciones geométricas basicas

Instrucciones para trazar el punto medio y la mediatriz.

1.- Primero con el compás apoyado en A y lo abres mas de la mitad de la recta y se traza un arco de circunferencia. Y ahí marcas en punto que sera el punto B.

2.- Apoyas el compás en B y con la misma abertura del compás . trazas otro arco de circunferencia que corte a la anterior. y el punto de arriba sera Q y el de abajo sera P.

3.- Trazas la recta PQ y ésta sera la mediatriz y el punto de intersección de PQ y AB sera R.. que es el punto que quedo en medio.


Ejercicio: Trazar un segmento con longitud de 1/2 de B.

B = recta de 7.5

Unidad 2 ... Geometria

Rectas concurrentes: son mas de 3 rectas o lineas que se intersectan en un mismo punto.

Ejercicio 6): Dibuja 4 rectas que sean concurrentes.

Transformacion de una funcion estandar a forma general.

Encontrar la funcion general de la parabola que tiene:
1) a = 4 ....... vertice = (1,3)

Primero localizamos de el vertice y "a" .. localizamos "a", "h" y "k" que seria:
a = 4
h =1
k = 3

Despues sutituimos los datos de "a"... "h" y "k"  por las letras.
a (x - h) (al cuadrado) + k = f (x)
4 (x - 1) (al cuadrado) + 3 = f (x)

A continuacion es como si factorizaramos pero alrevez.. Que es el cuadrado del primer termino.. mas el doble del primero por el segundo.. mas  el cuadrado del segundo termino.
4 (x(cuadrada) - 2x + 1) + 3 = f (x)

Pro ultimo multiplicamos "a" por todo lo que esta dentro del parentesis y quitamos el parentesis ... y despues sumamos o restamos terminos iguales segun sea el caso.
4x (cuadrada) - 8x + 4 + 3 = f (x)
4x (cuadrada) - 8x + 7 = f (x)

Cuando el coeficiente cuadrático es diferente a !1"

Ejercicio 1) 2x (al cuadrado) - 12x + 19

Primero separamos con corchetes los terminos que tienen "x". 
[ 2x (cuadrado) 12x ] 19

Despues la factorizamos lo que pusimos en corchetes.
2 [ x (cuadrada) - 6x ] 19

Con esto.. buscamos "B" de lo que esta en corchetes. Y usamos la formula de ( b / 2 ) (al cuadrado)
b = - 6 
= ( - 6 / 2 ) (al cuadrado)
= - 3 (al cuadrado)
= 9

Sumamos y restamos el valor que nos dio la formula, a "B". 
2 [ x (cuadrada) - 6x + 9 - 9 ] 19

y luego factorizamos los primeros 3 terminos que estan entre corchetes. Multiplicas el 2 se afuera con el - 9.... Y lo que esta fuera se revuelve.
2 [ (x - 3) (cuadrado) - 9 ] 19
2 (x - 3) (cuadrado) - 18 + 19
2 (x - 3) 1  aqui tenemos nuesta A, H y K, tabulamos. graficamos y ponemos sus elementos de la parabola.

a = 2
h = 3
k = 1

X     Y
1      9
2      3
3      1
4      3
5      9

Ramas = Arriba
Concavidad = Psotiva
Vértice = (3 , 1)
Eje = 3
Minimo = 1 

De forma general a forma estándar.

Ejercicio 4)
Tenemos esta formula: y = x (cuadrada) + 2x
Primero sacamos A.. B y C y quedan así..    a = 1
                                                                 b = 2
                                                                 c = 0
Después aplicamos la sig. formula (b / 2) (al cuadrado) y sustituimos con los valores A, B y C:

= (2 / 2) (al cuadrado)
= 1 (al cuadrado)
= 1  
Y teniendo ese valor.. lo sumamos y restamos en la ecuación después de la X de "b":
y = x (cuadrada) + 2x + 1 - 1
Ahora factorizamos a los 3 primeros términos  de la X.. le sacamos su raíz porque esta al cuadrado. Después ponemos el signo que sigue en la ecuación  Y por ultimo del valor sumado que nos salio de la formula, le sacamos su raíz. Luego de eso, usamos la ecuación de A, H y K y buscamos esas letras en nuestra ecuación factorizada.
y = (x  + 1) - 1
y = (x - h) (al cuadrado) + k 

a = 1
h = - 1
k = - 1

Lo que nos dio en H y en K sera nuestro vértice  Después únicamente le damos 2 valores mas pequeños a X que lo que nos dio el vértice.. y 2 mas  grandes y sustituimos en la ecuación inicial.

Ejemplo: (- 2) ...... y = (- 2) (al cuadrado) + 2 (- 2) 
                             y = 4 - 4
                              y = 0
Y así sustituyes en la ecuación con todos los valores.. por ultimo solo tabulas.. grafícas .. y pones los elementos de la parábola.
  
  X      Y
 -3       3
 -2       0
 -1    - 1

  0       0
  1        3

Rama = Arriba

Concavidad = Positiva

Vértice = - 1 , - 1

Eje = - 1

Mínimo = - 1

Ecuacion cuadrática.. Forma estandar

Y= a ( x - h) ( al cuadrado) + k
Esta formula nos servira para ver cual es A.. cual es K y cual es H .. en una ecuacion cuadratica. 

1) y = x (al cuadrado)
a = 1
h = 0
k= 0
En este caso A.. seria lo que multiplica a la escuacion .. lo que esta fuera del parentesis.. Asi que es 1 .. porque si le ponemos cero.. todo se convertiria en cero.
La H es lo que esta en el parentesis y va al cuadrado.
Y la K es lo que se le suma o se le resta al ultimo de la ecuacion.

Despues de identificar esas 3 letras.. tenemos que tabularlas desde - 3 hasta 3 sustituyendo en la ecuación normal.

  X     Y
- 3     9
- 2     4
- 1     1
  0     0
  1     1
  2     4
  3     9   
Luego graficamos.

Y por ultimo ponemos que es lo que modifica cada letra en una grafica..
En este caso es que A: la hace ya sea mas grande o con mas hueco adentro por decirlo asi.
H: es como si fuera X .. la hace mas a la derecha o mas a la izquierda.
K: es como si fuera Y .. la hace mas arriba o mas abajo.