Cuando el coeficiente cuadrático es diferente a !1"

Ejercicio 1) 2x (al cuadrado) - 12x + 19

Primero separamos con corchetes los terminos que tienen "x". 
[ 2x (cuadrado) 12x ] 19

Despues la factorizamos lo que pusimos en corchetes.
2 [ x (cuadrada) - 6x ] 19

Con esto.. buscamos "B" de lo que esta en corchetes. Y usamos la formula de ( b / 2 ) (al cuadrado)
b = - 6 
= ( - 6 / 2 ) (al cuadrado)
= - 3 (al cuadrado)
= 9

Sumamos y restamos el valor que nos dio la formula, a "B". 
2 [ x (cuadrada) - 6x + 9 - 9 ] 19

y luego factorizamos los primeros 3 terminos que estan entre corchetes. Multiplicas el 2 se afuera con el - 9.... Y lo que esta fuera se revuelve.
2 [ (x - 3) (cuadrado) - 9 ] 19
2 (x - 3) (cuadrado) - 18 + 19
2 (x - 3) 1  aqui tenemos nuesta A, H y K, tabulamos. graficamos y ponemos sus elementos de la parabola.

a = 2
h = 3
k = 1

X     Y
1      9
2      3
3      1
4      3
5      9

Ramas = Arriba
Concavidad = Psotiva
Vértice = (3 , 1)
Eje = 3
Minimo = 1 

De forma general a forma estándar.

Ejercicio 4)
Tenemos esta formula: y = x (cuadrada) + 2x
Primero sacamos A.. B y C y quedan así..    a = 1
                                                                 b = 2
                                                                 c = 0
Después aplicamos la sig. formula (b / 2) (al cuadrado) y sustituimos con los valores A, B y C:

= (2 / 2) (al cuadrado)
= 1 (al cuadrado)
= 1  
Y teniendo ese valor.. lo sumamos y restamos en la ecuación después de la X de "b":
y = x (cuadrada) + 2x + 1 - 1
Ahora factorizamos a los 3 primeros términos  de la X.. le sacamos su raíz porque esta al cuadrado. Después ponemos el signo que sigue en la ecuación  Y por ultimo del valor sumado que nos salio de la formula, le sacamos su raíz. Luego de eso, usamos la ecuación de A, H y K y buscamos esas letras en nuestra ecuación factorizada.
y = (x  + 1) - 1
y = (x - h) (al cuadrado) + k 

a = 1
h = - 1
k = - 1

Lo que nos dio en H y en K sera nuestro vértice  Después únicamente le damos 2 valores mas pequeños a X que lo que nos dio el vértice.. y 2 mas  grandes y sustituimos en la ecuación inicial.

Ejemplo: (- 2) ...... y = (- 2) (al cuadrado) + 2 (- 2) 
                             y = 4 - 4
                              y = 0
Y así sustituyes en la ecuación con todos los valores.. por ultimo solo tabulas.. grafícas .. y pones los elementos de la parábola.
  
  X      Y
 -3       3
 -2       0
 -1    - 1

  0       0
  1        3

Rama = Arriba

Concavidad = Positiva

Vértice = - 1 , - 1

Eje = - 1

Mínimo = - 1

Ecuacion cuadrática.. Forma estandar

Y= a ( x - h) ( al cuadrado) + k
Esta formula nos servira para ver cual es A.. cual es K y cual es H .. en una ecuacion cuadratica. 

1) y = x (al cuadrado)
a = 1
h = 0
k= 0
En este caso A.. seria lo que multiplica a la escuacion .. lo que esta fuera del parentesis.. Asi que es 1 .. porque si le ponemos cero.. todo se convertiria en cero.
La H es lo que esta en el parentesis y va al cuadrado.
Y la K es lo que se le suma o se le resta al ultimo de la ecuacion.

Despues de identificar esas 3 letras.. tenemos que tabularlas desde - 3 hasta 3 sustituyendo en la ecuación normal.

  X     Y
- 3     9
- 2     4
- 1     1
  0     0
  1     1
  2     4
  3     9   
Luego graficamos.

Y por ultimo ponemos que es lo que modifica cada letra en una grafica..
En este caso es que A: la hace ya sea mas grande o con mas hueco adentro por decirlo asi.
H: es como si fuera X .. la hace mas a la derecha o mas a la izquierda.
K: es como si fuera Y .. la hace mas arriba o mas abajo.

Analisis del discriminante... Ejercicio 2)

Análisis del discriminante. 

2) F (x) = - x (al cuadrado) + 3x

Primero localizamos "A" ... "B" ... y "C". 

Quedan: a = - 1

             b = 3

             c = 0

Despues calculamos X .. con la formula: x = - b / 2a ... Y sustituyendo valores quedaria asi:

x = -3 / 2 ( - 1)

x = - 3 / - 2

x = 1.5 

Al obtener eso.. Nececitaremos sacar Y .. Asi que lo que nos salio en X .. lo sustituiremos en la primera ecuacion. 

F (1.5) = - (1.5) (al cuadrado) + 3 (1.5)

F (1.5) = - 2.25 + 4.5

F (1.5) = 2.25 ............. Y ahi tendremos las coordenadas de nuestro vértice: (1.5, 2.25).

Ahora para terminar nuestra grafica.. tenemos que sacar los valores de X1 y X2 .. Y se tiene que usar ya sea la factorizacion o la formula general.. dependiendo del caso. Aqui usaremos la formula general con los valores de A, B y C que aparecieron al principio del ejercicio.

X1, X2 = - b +- raiz de ( b (cuadrada) - 4ac) / todo sobre 2

X1, X2 = - 3 +- raiz de ( 9 - 4 ( -1) (0) / 2 ( - 1 )

X1, X2 = - 3 +- raiz de ( 9 ) / - 2

X1, X2 = - 3 +- 3 / 2

X1 = - 3 + 3 / 2         X2 =  - 3 - 3 / - 2

X1 = 0 / 2                 X2 = - 6 / 2

X1 = 0                      X2 = 3

Por ultimo unicamente graficamos .. con nuestro vertice.. y con X1 y X2 .. miesntras Y cuenta como 0 

Puntos importantes de una parabola.. Ejercicio 2)

Gráfica la siguiente función cuadrática, a partir del vértice y las 2 raíces y elementos de la parábola.

2) F(X) = x (cuadrada) + 2x - 3

Primero tenemos que  hacer una tabla así          

Luego de esa ecuación ^^ .. sacamos A.... B y C .. Que quedan así .. Primero van  lo cuadrático ( x al cuadrado) .. luego la lineal (2x)  ..y al ultimo va la constante (3).

a= 1 
b= 2
c= - 3   
Y tenemos una formula que es para sacar el valor de x desde el punto del vértice: 

x=  - b/2a Y quedaría así sustituyendo los valores anteriores en la formula: x= - 2/2(1) 
                                                                                                                 x= - 2/2
                                                                                                                 x= - 1
(El (- 1) sera lo que ira en la tabla en X como vértice).

Después lo que nos dio de X que vendría siendo (-1).. lo sustituimos en la primera ecuación:

F (x) = (-1) (al cuadrado) + 2 (- 1) - 3
F (x) = 1 - 2 - 3
F (x) = - 4
(El (- 4) sera el que ira en Y en la tabla como vértice).

A continuación usamos la formula general para  sacar las X en la tabla.. una mas grande que el valor pasado.. y uno mas chico. Igual sustituimos usando los valores de de A, B y C utilizados antes.

x1, x2 = - b +- la raiz cuadrada de ( b(cuadrada) - 4ac) / 2    /Todo eso sobre 2/
Que seria asi: x1,x2 = -2 +- Raiz de ( (2) (al cuadrado) - 4 (1) (- 3)) / 2   /Todo sobre 2/
x1,x2 = -2 +- Raiz de (4 + 12) / 2 
x1,x2 = -2 +- Raiz de (16) / 2 
x1,x2 = (- 2 +-  4) / 2
x1 = (- 2 + 4) /2
x1 = 2/2
x1 = 1
x2 = ( - 2 - 4) /2  
x2 = ( - 6 ) / 2
x2 = - 3

Aquí el valor mas pequeño de x1 y x2 ira en la tabla antes del resultado anterior de X.. y el mayor ira después.

Por ultimo solo grafícas con esos 3 valores que tienes y pones sus elementos:

Ramas = Arriba
Concavidad = Negativa
Vértice = (- 1, - 4)
Eje de simetría = - 4
Mínimo = - 4

Los elementos de la parabola.. Ejercicio a)

Obtener los elementos de la parábola y la gráfica y las funciones:

a) y = x (cuadrada)
Solo tenemos que sustituir valores con la X...  Y estos serán  -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Aquí sustituimos a -5: 
Y = ( -5 ) (al cuadrado)
Y = 25   (se multiplica 5 por 5 .. y da 25-.. y como los 2 tienen signos negativos.. - y - dan +)  Luego haces esto con todos los valores desde el -5 hasta el 5 positivo y quedan así:

 X       Y    
-5     25   
-4     16
-3       9
-2       4  
-1       1
 0       0
 1       1
 2       4
 3       9 
 4     16
 5     25 

Y la gráfica siguiente se hizo con los datos de arriba:

Ramas = arriba

Concavidad = positiva

Vértice = ( o,o )

Eje = 0

Máximo = 25 

Funciones cuadráticas.. 1° Problema

P = 2b + x  El perímetro se saca sumando todos los lados.. entonces como no tenemos el lado izquierdo queda b +b +x
A = A(x) = (x)(b) ... El área de un rectángulo se saca multiplicando base por altura.. Entonces multiplicas B y X

120 = 2b + x Al tener esto.. solo despejas b y queda tu ecuación para tabular y después graficar.

b = [120 - x] / 2
                                                                                    b = 60 - x / 2

Luego sustituyes lo que te salio (b) en el área: A(x) = x ( 60 - x/2 )
Y queda: A (x ) = 60x - x/2(la x cuadrada) Luego de esto.. le das un valor a la X .. y la sustituyes.

Ejemplo: A (x) = 60 (10) - 20/2 (el 20 al cuadrado)
A (x) = 600 - 100/2
A (x) = 600 - 50
A (x) = 550

Y la tabla quedaría así:             x    Área      

                                         0         0
                                       10     550 
                                       20   1000
                                       40   1600
                                       60   1800
                                       80   1600
                                     100   1000
                                     120     550
                                                              


Empiezas la tabla.. en el primer valor positivo.. y luego la resuelves dandole valores hasta que quede en el mismo valor de nuevo.
Y por ultimo grafícas los datos de la tabla:

                                        
                                       

Elementos de una parábola

Eje de simetría: Es una linea vertical .. que divide a la parábola a la mitad

Vértices: Es el punto que choca la linea que se forma con las coordenadas de la ecuación . /osea la que sale en la tabla de X y Y/ con el eje de simetría .

Concavidad: La concavidad se podría decir que es el hueco.. que esta entre las ramas de la parábola . Si El resultado de Y es positiva.. la parábola apunta hacia arriba.. y si Y es negativa.. apunta hacia abajo.. Y entre mas grande sea el valor.. mas grande sera.

 

Ramas: Son por ejemplo en la foto de abajo.. la linea roja.. .. Decimos que el vértice es la coordenada (X,Y) (1,0).. entonces las ramas son las lineas que parten hacia los lados del vértice.

 

Máximo o mínimo: Son por ejemplo "máximo".. es la cantidad mas alta que salio en la ecuación al sustituir X .. como lo indica la imagen de abajo .... Y en "mínimo" es la cantidad mas chica que obtuviste. 

Fuentes: https://www.google.com.mx/search?hl=es-419&q=la+parabola+elementos&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_cp.r_qf.&biw=1309&bih=713&um=1&ie=UTF-8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=tBj_UKGNE4ay2gWHnYHQAw#um=1&hl=es-419&tbo=d&tbm=isch&sa=1&q=la+parabola+&oq=la+parabola+&gs_l=img.3..0l10.3562.3562.0.3736.1.1.0.0.0.0.107.107.0j1.1.0...0.0...1c.1.GAppYkiGiqU&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_cp.r_qf.&bvm=bv.41248874,d.b2I&fp=b0d90664a771f2e1&biw=1309&bih=713

http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090709085920AAIwAmF